Least Common Multiple & Highest Common Factor in hindi

 Least Common Multiple & Highest Common Factor in hindi

 लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM – Least Common Multiple) किसी दो या दो से अधिक संख्याओं का वह सबसे छोटा  (लघुत्तम) धनात्मक गुणज (Multiple) होता है, जो उन सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाता है।

LCM वह सबसे छोटी संख्या होती है, जिसमें दी गई सभी संख्याएँ बिना शेष बचे विभाजित हो जाती हैं।

 

उदाहरण :-

 

 4 के गुणज = 4, 8, 12, 16, 20, 24, …

 3 के गुणज = 3,6,9, 12,15, 18,21, 24, …

अत:  4 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = 12

 

LCM निकालने की विधियाँ

 

(1) गुणज लिखकर

 

1. दोनों संख्याओं के गुणज लिखें।

2. सबसे छोटी समान संख्या खोजें।

 

उदाहरण:

4 और 5 के गुणज:

 

 4 → 4, 8, 12, 16, 20, …

 5 → 5, 10, 15, 20, …

  👉 LCM = 20

 

 

(2) अभाज्य गुणनखंड (Prime Factorization Method)

 

1. प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें।

2. हर अभाज्य गुणनखंड का सर्वाधिक घातांक (highest power) लें।

3. उनका गुणनफल ही LCM होगा।

 

उदाहरण:

12 = 2² × 3¹

18 = 2¹ × 3²

👉 LCM = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

 

 

(ग) विभाजन विधि (Division Method)

 

1. संख्याओं को एक साथ लिखें।

2. छोटेसेछोटे अभाज्य संख्या से विभाजित करते रहें।

3. अंत में सभी भाजकों का गुणनफल ही LCM होगा।

 

उदाहरण:

18, 30 और 36 का LCM

2	18, 30, 36
2	9,  15, 18
3	9, 15, 9
3	3, 5, 3
5	1, 5, 1
	1, 1, 1

 

👉 LCM = 2 × 2 × 3 × 3 × 5  = 180

 

 

 उपयोग

Ø  गणितीय समस्याओं में

Ø  समय और कार्य (Time & Work)

Ø  गति और दूरी

Ø  घंटियों/यंत्रों की पुनरावृत्ति

Ø  भिन्नों को जोड़ने/घटाने में

 

 

 

 

 महत्तम समापवर्तक (HCF)

 

(Highest Common Factor / महा.स. = GCD = Greatest Common Divisor)

     महत्तम समापवर्तक (HCF) किसी दो या दो से अधिक संख्याओं का वह सबसे बड़ा गुणनखंड (Factor) होता है, जो उन सभी संख्याओं को बिना शेष बचे विभाजित करता है।

HCF वह सबसे बड़ी संख्या है, जो दी गई सभी संख्याओं को पूरी तरह काट देती है।

 

उदाहरण

 

 12 के भाजक = 1, 2, 3, 4, 6, 12

 24 के भाजक = 1, 2, 3,4, 6, 12, 24

अत:  दोनों में सबसे बड़ा समान भाजक = 12

  तो 12 और 24 का HCF = 6

 

 

HCF निकालने की विधियाँ

 

 (1) गुणनखंड विधि (Factorization Method)

 

1. संख्याओं के सभी भाजक लिखें।

2. समान भाजकों को चुनें।

3. सबसे बड़ा समान भाजक = HCF

 

उदाहरण:

16 के भाजक = 1, 2, 4, 8, 16

24 के भाजक = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

समान भाजक = 1, 2, 4, 8

 HCF = 8

 

 

(2) अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization)

 

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें।

2. केवल समान अभाज्य गुणनखंडों के न्यूनतम घातांक (lowest power) लें।

3. उनका गुणनफल = HCF

 

उदाहरण:

36 = 2² × 3²

48 = 2⁴ × 3¹

समान = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12

तो HCF = 12

 

 

 

(3) विभाजन विधि (Division Method / Euclid’s Algorithm)

 

1. बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दीजिए।

2. शेष को फिर भाग दें।

3. जब शेष शून्य हो जाए → उस समय का भाजक = HCF

 

उदाहरण:

HCF of 48 and 18

2	48, 18
3	24,  9
	8, 3

 

HCF = 2 X 3 =  6

 

HCF के उपयोग

 

Ø  भिन्नों को सबसे छोटे रूप में बदलने में

Ø  चीजों को बराबर भागों में बाँटने में

Ø  गणित की शब्द समस्याओं (time, work, ratio, distribution) में

 

HCF और LCM का संबंध

 

किसी भी दो संख्याओं के लिए –

HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल

उदाहरण:

12 और 18 के लिए

 HCF = 6

 LCM = 36

 6 × 36 = 12 × 18

216 = 216